本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

3.0 本文所用符号一览

物理量	符号	单位/值
压强	$p$	$N\cdot m^2$（Pa）
体积	$V$	${\mathrm{m}}^3$
热力学温度	$T$	K
摩尔数 / 物质的量	$n$	mol
摩尔质量	$M$	kg/mol
摩尔体积	$V_{\mathrm{m}}$	L/mol
标准状态下 1 mol 理想气体体积	$V_{\mathrm{mol}}$	$22.4\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$
阿伏伽德罗常数	$N_A$	$6.022\times 10^{23}{\mathrm{mol}}^{-1}$
分子总数	$N$	-

3.1 干空气与湿空气的概念

干空气和湿空气的概念：

• 干空气：又称为干洁空气，是指大气中除去水汽、液体和固体微粒以外的整个混合气体。
• 湿空气：是指含有水汽或湿度较大的空气。湿空气是由干空气和水蒸气混合而成，即可以简单理解为“湿空气 = 干空气 + 水汽”。

干洁空气是大气的主体，平均约占低层大气体积的 99.97%（水汽平均约 0.03%，杂质可忽略）；湿空气是干空气和水蒸气的混合物，由于水蒸气的分压力很低，所以湿空气可以作为理想气体混合物。

3.2 干空气的状态方程

在通常大气温度和压强条件下，干空气可近似视为理想气体，其遵从如下状态方程：

$$pV=\frac{m}{M}{R}^{\ast }T=n{R}^{\ast }T$$

其中 $n$ 为物质的量（即摩尔数），普适（通用）气体常量 $R^{\ast }=8.31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$，该值对 1mol 任何气体都适用（气象学里常用带星号的 $R$ 表示普适气体常量）。上式也可以写为：

$$pV=\frac{m}{M}{R}^{\ast }T$$

这是通用的质量为 $m$ 的理想气体状态方程，又称做门捷列夫-克拉珀龙方程。它表明气体在任何状态下，压强、体积、温度和质量 4 个量之间的关系。

在气象学中，常用单位体积的空气块作为研究对象，为此，常将上式中 4 个量的关系变为压强、温度和密度 3 个量间的关系，即：

$$p=\frac{m}{V}\frac{R^{\ast }}{M}T$$

令 $\rho =\frac{m}{V}$ 为气体密度，$R=\frac{R^{\ast }}{M}$ 为气体常数，则上式写为：

$$p=\rho RT$$

在气象学中我们常用这个公式。注意，普适（通用）气体常量 $R^{\ast }$ 是一个常数，不会随气体的分子量变化而改变；而气体常数 $R$ 与气体的种类和性质有关。

我们可以把干空气视为分子量为 28.97（即 $M=28.97kg/mol$）的单一成分的气体来处理，这样干空气的气体常数 $R_d$ 为：

$$R_d=\frac{R^{\ast }}{M}=0.287J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})=287.0J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$$

所以可得干空气的状态方程为：

$$p={\rho }_d{R}_{d}T$$

其中 ${\rho }_d$ 为干气体密度。

3.3 湿空气的状态方程

3.3.1 推导过程

在实际大气中，尤其是在近地面气层中存在的总是含有水汽的湿空气。在常温常压下，湿空气仍然可以看成理想气体，因此也遵循如下方程：

$$p=\rho RT$$

现在我们来求湿空气的密度 $\rho$。因为湿空气是干空气和水汽的混合物，故湿空气的密度 $\rho$ 是干空气密度 ${\rho }_d$ 与水汽密度 ${\rho }_w$ 之和，即：

$$\rho =\frac{m_d+m_w}{V}={\rho }_d+{\rho }_w$$

如果以 $p$ 表示湿空气的总压强，$e$ 表示其中水汽部分的压强（即水汽压），由道尔顿分压定律可知，$p-e$ 是干空气的压强。已知干空气的气体常数为 $R_d$，水汽的气体常数为 $R_w$，则我们可以利用状态方程计算出干空气密度和水汽密度：

$$\begin{gathered} {\rho }_d=\frac{p-e}{R_{d}T} \\ {\rho }_w=\frac{e}{R_{w}T} \end{gathered}$$

干空气密度和水汽密度可以视为湿空气密度的分密度，由此得出湿空气的密度为：

$$\rho =\frac{p-e}{R_{d}T}+\frac{e}{R_{w}T}$$

水汽分子量 $M_w=18.0kg/mol$，于是可得水汽的气体常数为 $R_w=\frac{R^{\ast }}{M_w}=0.4615J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$。由此可知：

$$R_w=1.608R_d$$

现在把上述关系式代入湿空气的密度表达式中：

$$\begin{array}{rl}\rho & =\frac{p-e}{R_{d}T}+\frac{e}{R_{w}T}\\ & =\frac{p-e}{R_{d}T}+\frac{e}{1.608R_{d}T}\\ & =\frac{1.608(p-e)+e}{1.608R_{d}T}\\ & =\frac{1.608p-0.608e}{1.608R_{d}T}\\ & =\frac{p}{R_{d}T}-0.378\frac{e}{R_{d}T}\\ & =\frac{p}{R_{d}T}(1-0.378\frac{e}{p})\\ & =\frac{p\cdot [1-(0.378\frac{e}{p}{)}^2]}{R_{d}T(1+0.378\frac{e}{p})}\\ & \approx \frac{p}{R_{d}T(1+0.378\frac{e}{p})}\end{array}$$

因此湿空气的状态方程为：

$$p=\rho R_{d}T(1+0.378\frac{e}{p})$$

3.3.2 虚温

令 $T_v=T(1+0.378\frac{e}{p})$，这个物理量被称为虚温，由于虚温恒大于 1，因此虚温总是比湿空气的实际温度要高些。引入虚温后，湿空气的状态方程可写成：

$$p=\rho R_d{T}_v$$

虚温的物理意义是：在同一压强下，干空气密度等于湿空气密度时干空气应有的温度。由于在同温同压下，湿空气密度要比干空气密度要小，因此虚温始终比实际温度要高（但也仅仅只是高几摄氏度而已）。为说明这一点，计算虚温和实际温度之差如下：

$$\Delta T=T_v-T=0.378\frac{e}{p}$$

可见空气中水汽压 $e$ 愈大，这一差值便愈大。在低层大气，尤其是在夏季，$e$ 值较高，这时必须用湿空气状态方程，但在高空，$e$ 值相对较小，因而 $\Delta T$ 很小，这时便可用干空气状态方程，而不致造成大的误差。